Cours de Mathématiques
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Les triangles

Qu'est-ce qu'un triangle ?

📘Définition
Un triangle est un polygone possédant exactement 3 sommets, 3 côtés et 3 angles intérieurs. On note un triangle par ses trois sommets : △ABC.
ABCαβγ[AB][BC][CA]

Sommets

Les trois points : A, B, C.

Côtés

Les trois segments : [AB], [BC], [CA].

Angles intérieurs

α en A, β en B, γ en C. On note aussi Â, B̂, Ĉ.

Somme des angles d'un triangle

✅Propriété
La somme des angles intérieurs d'un triangle vaut toujours 180°, quelle que soit la forme du triangle. α + β + γ = 180°
αβγABC

α + β + γ = 180°

Ex. : si α = 50° et β = 70°, alors γ = 180° − 50° − 70° = 60°.

Types de triangles selon les côtés

Triangle scalène

Les 3 côtés ont des longueurs différentes.

Triangle isocèle

2 côtés égaux (les côtés isocèles). Le 3ème est la base.

Triangle équilatéral

3 côtés égaux → les 3 angles valent chacun 60°.

⚠️Attention
Un triangle équilatéral est un cas particulier de triangle isocèle (2 côtés égaux parmi les 3).

Types de triangles selon les angles

Triangle acutangle

Les 3 angles sont aigus (strictement inférieurs à 90°).

hypoténuse

Triangle rectangle

Possède un angle droit (90°). Le côté opposé s'appelle l'hypoténuse.

Triangle obtusangle

Possède un angle obtus (supérieur à 90°).

⚠️Attention
Un triangle ne peut avoir qu'un seul angle droit ou obtus (car α + β + γ = 180°).

Éléments remarquables du triangle

La hauteur

ABCHh
📘Définition
La hauteur issue d'un sommet est le segment perpendiculaireau côté opposé, allant du sommet jusqu'au pied H de cette perpendiculaire.

Un triangle a 3 hauteurs. Elles se coupent toutes en un même point appelé l'orthocentre.

La médiane

ABCMm
📘Définition
La médianeissue d'un sommet est le segment joignant ce sommet au milieu M du côté opposé. Le milieu partage le côté en deux parties égales.

Un triangle a 3 médianes. Elles se coupent toutes en un même point appelé le centre de gravité G. Ce point se situe aux ⅔ de chaque médiane depuis le sommet.

La médiatrice

ABC
📘Définition
La médiatrice d'un côté est la droite perpendiculaire à ce côté et passant par son milieu.
✅Propriété
Tout point situé sur la médiatrice d'un segment est équidistant des deux extrémités de ce segment.

Un triangle a 3 médiatrices. Elles se coupent en un même point : le centre du cercle circonscrit au triangle.

⚠️Attention
Ne confonds pas : la médiane joint un sommet au milieu du côté opposé, tandis que la médiatrice est une droite perpendiculaireau côté en son milieu — elle ne part pas d'un sommet.

À retenir

✅Propriété

Selon les côtés :

  • • Scalène : 3 côtés différents
  • • Isocèle : 2 côtés égaux (angles à la base égaux)
  • • Équilatéral : 3 côtés égaux → 3 angles de 60°

Selon les angles :

  • • Acutangle : 3 angles aigus
  • • Rectangle : 1 angle droit — côté opposé = hypoténuse
  • • Obtusangle : 1 angle obtus (> 90°)

Éléments remarquables :

  • • Hauteur : perpendiculaire d'un sommet sur le côté opposé → les 3 se coupent à l'orthocentre
  • • Médiane : d'un sommet au milieu du côté opposé → les 3 se coupent au centre de gravité G
  • • Médiatrice : perpendiculaire au milieu d'un côté → les 3 se coupent au centre du cercle circonscrit

Propriété fondamentale :

 + B̂ + Ĉ = 180°