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Les solides de l'espace
Qu'est-ce qu'un solide ?
📘Définition
Un solide (ou solide de l'espace) est une figure à trois dimensions (longueur, largeur, hauteur). Il est délimité par des faces (surfaces planes ou courbes), des arêtes (segments où deux faces se rejoignent) et des sommets (points où plusieurs arêtes se rencontrent).
Faces
Surfaces planes (ou courbes) qui délimitent le solide
Arêtes
Segments droits où deux faces planes se rejoignent
Sommets
Points de rencontre de plusieurs arêtes
Les principaux solides
Le cube
Faces
6
Arêtes
12
Sommets
8
Ex. : dé à jouer, Rubik's cube
Le pavé droit (parallélépipède rectangle)
Faces
6
Arêtes
12
Sommets
8
Ex. : brique, boîte de céréales
Le prisme droit
Faces
5
Arêtes
9
Sommets
6
Ex. : Toblerone, tunnel
La pyramide (à base carrée)
Faces
5
Arêtes
8
Sommets
5
Ex. : pyramides d'Égypte
Le cylindre
Faces
3
Arêtes
2
Sommets
0
Ex. : boîte de conserve, rouleau
Le cône
Faces
2
Arêtes
1
Sommets
1
Ex. : cornet de glace, chapeau de fête
La sphère
Faces
1
Arêtes
0
Sommets
0
Ex. : ballon, globe terrestre
Relation d'Euler
✅Propriété
Pour tout polyèdre convexe (solide dont toutes les faces sont planes), la relation suivante est toujours vérifiée : S − A + F = 2
(S = sommets, A = arêtes, F = faces)
| Solide | Sommets S | Arêtes A | Faces F | S − A + F |
|---|---|---|---|---|
| Cube / Pavé droit | 8 | 12 | 6 | 8 − 12 + 6 = 2 |
| Prisme triangulaire | 6 | 9 | 5 | 6 − 9 + 5 = 2 |
| Pyramide à base carrée | 5 | 8 | 5 | 5 − 8 + 5 = 2 |
| Tétraèdre (4 triangles) | 4 | 6 | 4 | 4 − 6 + 4 = 2 |
Volumes et aires totales
h = hauteur · r = rayon · a = côté du cube · Sb = aire de la base · Pb = périmètre de la base · g = apothème du cône (= √(r²+h²))
| Solide | Volume V | Aire totale A |
|---|---|---|
| Cube (côté a) | a3 | 6 × a2 |
| Pavé droit (l × L × h) | l × L × h | 2 × (lL + lh + Lh) |
| Prisme droit | Sb × h | 2 × Sb + Pb × h |
| Pyramide | Sb × h ÷ 3 | Sb + somme des faces latérales |
| Cylindre (rayon r, hauteur h) | π × r2 × h | 2 × π × r × (r + h) |
| Cône (rayon r, apothème g) | π × r2 × h ÷ 3 | π × r × (r + g) |
| Sphère (rayon r) | 4 × π × r3 ÷ 3 | 4 × π × r2 |
⚠️Attention
Le volume s'exprime en unités cubiques(cm³, m³…) et l'aire totale en unités carrées (cm², m²…). Pour la pyramide et le cône, on divise par 3 par rapport au prisme/cylindre de même base et hauteur.
À retenir
✅Propriété
- • Un polyèdre a toutes ses faces planes : cube, pavé, prisme, pyramide.
- • Les solides à surface courbe : cylindre, cône, sphère.
- • Cube : V = a³ · A = 6a²
- • Pavé droit : V = l × L × h · A = 2(lL + lh + Lh)
- • Prisme : V = Sb × h · Pyramide : V = Sb × h ÷ 3
- • Cylindre : V = πr²h · A = 2πr(r + h)
- • Cône : V = πr²h ÷ 3 · A = πr(r + g)
- • Sphère : V = 4πr³ ÷ 3 · A = 4πr²
- • Relation d'Euler : S − A + F = 2 (pour tout polyèdre convexe)