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Les nombres entiers
Les nombres relatifs
Dans la vie quotidienne, certaines situations nécessitent des nombres plus grands que zéro (températures positives, étages au-dessus du rez-de-chaussée, gains…) mais aussi des nombres inférieurs à zéro (températures négatives, étages en sous-sol, dettes…).
📘Définition
Un nombre relatifest un nombre pouvant être positif, négatif ou nul. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ.
- • Exemples positifs : +3, +15, +100 (le signe + est souvent omis : +3 = 3)
- • Exemples négatifs : −5, −12, −0,5
- • Zéro n'est ni positif ni négatif, mais appartient à ℤ
🌡️
Températures
+20°C en été / −5°C en hiver
🏢
Étages
+3 = 3ème étage / −1 = sous-sol
🏦
Compte bancaire
+150 = avoir / −50 = dette
⛰️
Altitudes
+8848 m (Everest) / −418 m (Mer Morte)
🎮
Score
+5 pts (gain) / −3 pts (pénalité)
➡️
Déplacements
+4 km vers la droite / −2 km vers la gauche
La droite graduée
On représente les nombres entiers sur une droite graduée. Les nombres positifs sont à droite de 0, les nombres négatifs à gauche.
💡Remarque
Le signe « + » n'est pas obligatoire devant un nombre positif : +5 = 5. Mais le signe « − » est toujours obligatoire devant un nombre négatif.
Valeur absolue et nombres opposés
📘Définition
La valeur absolue d'un nombre est sa distance au zéro sur la droite graduée. Elle est toujours positive ou nulle et se note |n|.
|+6| = 6
|−3| = 3
|0| = 0
📘Définition
Deux nombres opposés ont des signes différents mais la même valeur absolue. Leur somme est toujours égale à zéro : a + (−a) = 0.
L'opposé de +5 est −5
L'opposé de −8 est +8
Comparer des nombres relatifs
Signes différents
Le nombre négatif est toujours le plus petit.
−3 < 5 | −100 < 1
Deux nombres positifs
Le plus petit est celui avec la plus petite valeur absolue.
3 < 7 car |3|<|7|
Deux nombres négatifs
Le plus petit est celui avec la plus grande valeur absolue.
−12 < −5 car |−12|>|−5|
Addition de nombres relatifs
Même signe
- On donne au résultat le signe commun
- On additionne les valeurs absolues
(+5) + (+3) = +8
(−4) + (−6) = −10
Signes différents
- On donne au résultat le signe du nombre avec la plus grande valeur absolue
- On soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande
(+7) + (−3) = +4
(−8) + (+5) = −3
Soustraction et règle des signes successifs
✅Propriété
Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : a − b = a + (−b)
| Règle des signes successifs | Résultat | Exemple |
|---|---|---|
| +(+a) | = +a | +(+5) = +5 |
| +(−a) | = −a | +(−5) = −5 |
| −(+a) | = −a | −(+8) = −8 |
| −(−a) | = +a | −(−7) = +7 |
Exemples :
12 − (−2) = 12 + (+2) = 14
−10 + (−4) = −14
−2 − (−4 − 2) = −2 − (−6) = −2 + 6 = 4
Multiplication de nombres relatifs
+ × + = +
− × − = +
Signes identiques → résultat positif
2 × 7 = +14
(−2)×(−7) = +14
(−2)×(−7) = +14
+ × − = −
− × + = −
Signes différents → résultat négatif
2×(−7) = −14
(−2)×7 = −14
(−2)×7 = −14
⚠️Attention
Pour un produit de plusieurs facteurs : on compte le nombre de signes « − ».
- • Nombre pair de facteurs négatifs → résultat positif
- • Nombre impair de facteurs négatifs → résultat négatif
Priorités opératoires
1
Parenthèses
Calculer d'abord ce qui est entre parenthèses (de l'intérieur vers l'extérieur)
2
Multiplication et Division
De gauche à droite
3
Addition et Soustraction
De gauche à droite
Exemple : 8 − 6 × (−2) = 8 − (−12) = 8 + 12 = 20
−5 × (−12 + 2 × 5) + 1 = −5 × (−12 + 10) + 1 = −5 × (−2) + 1 = 10 + 1 = 11
−5 × (−12 + 2 × 5) + 1 = −5 × (−12 + 10) + 1 = −5 × (−2) + 1 = 10 + 1 = 11
Propriétés des opérations
| Propriété | Addition | Multiplication |
|---|---|---|
| Commutativité | a + b = b + a | a × b = b × a |
| Associativité | (a+b)+c = a+(b+c) | (a×b)×c = a×(b×c) |
| Élément neutre | a + 0 = a | a × 1 = a |
| Absorbant | — | a × 0 = 0 |
| Symétrique | a + (−a) = 0 | — |
À retenir
✅Propriété
- • Un nombre relatif est positif, négatif ou nul · ℤ = ensemble des entiers relatifs
- • Valeur absolue |n| = distance au zéro (toujours ≥ 0)
- • Deux nombres opposés ont même valeur absolue et signes différents ; leur somme = 0
- • Comparaison : négatif < zéro < positif ; entre négatifs : le plus grand |n| est le plus petit
- • Addition (même signe) : signe commun + somme des |n|
- • Addition (signes différents) : signe du plus grand |n| + différence des |n|
- • Signes successifs : −(−a) = +a ; −(+a) = −a
- • Multiplication : signes identiques → + ; signes différents → −
- • Priorités : parenthèses → × et ÷ → + et −