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Les équations

Qu'est-ce qu'une équation ?

Imagine une balance à deux plateaux parfaitement en équilibre. Si l'on ajoute ou retire le même poids des deux côtés, la balance reste en équilibre. C'est exactement le principe qui gouverne les équations.

📘Définition

Une équation est une égalité entre deux membres contenant une (ou plusieurs) inconnue(s) désignée(s) par une lettre.

2x + 5=15

↑
1er membre|↑
2ème membre

📘Définition

Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. Cette valeur est appelée la solutionet on l'écrit : S = { valeur }.

Principes d'équivalence

On peut effectuer les mêmes opérations sur les deux membres d'une équation sans changer la solution. Comme pour la balance : tout ce qu'on fait d'un côté, on le fait de l'autre.

+Additionner

Ajouter un même nombre aux deux membres

x − 3 = 7 → x = 10 (+3)

−Soustraire

Soustraire un même nombre aux deux membres

x + 5 = 12 → x = 7 (−5)

×Multiplier

Multiplier les deux membres par un même nombre

x/4 = 6 → x = 24 (×4)

÷Diviser

Diviser les deux membres par un même nombre non nul

3x = 15 → x = 5 (÷3)

⚠️Attention

On ne peut jamais diviser par zéro. Le principe de division ne s'applique qu'avec un nombre non nul.

Méthode de résolution

L'objectif est d'isoler l'inconnueseule d'un côté de l'égalité. On procède étape par étape, en appliquant les principes d'équivalence.

Exemple : résoudre 2x + 5 = 15

Départ

2x + 5 = 15

−5 des 2 côtés

2x = 15 − 5 = 10

÷2 des 2 côtés

x = 10 ÷ 2 = 5

Vérification : 2×5 + 5 = 10 + 5 = 15 ✓

S = { 5 }

Type x + a = b

x + 2 = 5

x = 5 − 2

x = 3

Vérif : 3+2=5 ✓

S = { 3 }

Type ax = b

3x = 15

x = 15 ÷ 3

x = 5

Vérif : 3×5=15 ✓

S = { 5 }

Type ax + b = c

4x − 2 = 10

4x = 12

x = 3

Vérif : 4×3−2=10 ✓

S = { 3 }

Équations avec parenthèses

Lorsqu'une équation contient des parenthèses, on les développe d'abord, puis on résout.

Exemple : 2(x + 1) = 2

2(x + 1) = 2

2x + 2 = 2 (développer)

2x = 0

x = 0

Vérif : 2(0+1) = 2×1 = 2 ✓

S = { 0 }

Exemple : 2x − 5 = x + 1

2x − 5 = x + 1

2x − x = 1 + 5 (regrouper)

x = 6

Vérif : 2×6−5=7 et 6+1=7 ✓

S = { 6 }

💡Remarque

Quand l'inconnue est des deux côtés, on la regroupe d'un côté en utilisant les principes d'équivalence : 2x − 5 = x + 1 → 2x − x = 1 + 5.

Traduire un problème en équation

Un problème peut être traduit en équation en identifiant l'inconnue et en exprimant la condition donnée.

“Quel est le nombre dont le double vaut dix ?”

Inconnue : x (le nombre)

Équation : 2x = 10

x = 5

“Quel nombre, augmenté de 5, donne 9 ?”

Inconnue : x (le nombre)

Équation : x + 5 = 9

x = 4

“Le double de la somme de 4 et d'un nombre vaut 10. Quel est ce nombre ?”

Inconnue : x (le nombre)

Équation : 2(x + 4) = 10

2x + 8 = 10 → 2x = 2

x = 1

Vocabulaire utile :

double → 2xtiers → x/3augmenté de 5 → x + 5diminué de 3 → x − 3quadruple → 4xmoitié → x/2

À retenir

✅Propriété

• Une équation est une égalité avec une inconnue (lettre) · résoudre = trouver la valeur de l'inconnue
• Principes d'équivalence : on peut +, −, × ou ÷ (par ≠ 0) les deux membres sans changer la solution
• Objectif : isoler l'inconnue seule d'un côté
• Si parenthèses : développer d'abord, puis résoudre
• Si inconnue des deux côtés : la regrouper d'un seul côté
• Toujours vérifier la solution en la substituant dans l'équation de départ
• La solution s'écrit S = { valeur }