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Le calcul littéral
Expressions littérales
En mathématiques, on utilise souvent des lettrespour exprimer des formules générales. Par exemple, le périmètre d'un rectangle se calcule comme P = 2(l + L), quelle que soit la valeur de l et de L. Ces formules sont des expressions littérales.
📘Définition
Une expression littérale est une expression mathématique dans laquelle des lettres (appelées variables) représentent des nombres non précisés.
P = 2(l + L)
A = b × h ÷ 2
V = πr²h
C = 2πr
A = a²
E = mc²
Vocabulaire
6a
6
Coefficient
Le nombre qui multiplie la variable
a
Variable (partie littérale)
La lettre représentant un nombre inconnu
Terme
Un terme est une partie de l'expression séparée par + ou −
Dans 3a + 2b − 5 : trois termes
Facteur
Un facteur est une partie d'un produit
Dans 3 × a : 3 et a sont des facteurs
Conventions d'écriture
| On écrit | On ne peut pas écrire | Raison |
|---|---|---|
| 3a | 3 × a | Le signe × est omis entre un nombre et une lettre |
| ab | a × b | Le signe × est omis entre deux lettres |
| a | 1 × a ou 1a | Le coefficient 1 n'est jamais écrit |
| −a | −1 × a ou −1a | Le coefficient −1 s'écrit simplement − |
| a² | a × a | On utilise les puissances |
Termes semblables
📘Définition
Des termes sont semblables s'ils ont la même partie littérale(mêmes lettres, mêmes exposants). On ne peut additionner ou soustraire que des termes semblables.
✓ Termes semblables
3a et 7a → même variable a
−2x² et 5x² → même variable x²
4ab et −ab → même variable ab
✗ Termes NON semblables
3a et 3b → variables différentes
2x et 2x² → exposants différents
5ab et 5a → parties littérales différentes
Réduire une expression
On regroupe les termes semblables pour simplifier :
5a + 12a − 7a = (5 + 12 − 7)a = 10a
2x − 3a − 5x + 10a = (2−5)x + (−3+10)a = −3x + 7a
5a² + 3a − 5a + 7b − 2a² = (5−2)a² + (3−5)a + 7b = 3a² − 2a + 7b
Multiplier des expressions littérales
✅Propriété
Pour multiplier des expressions littérales, on multiplie :
- • les coefficients entre eux
- • les parties littérales entre elles
2a × 3c = (2×3)(a×c) = 6ac
−5a × 7ab = (−5×7)(a×ab) = −35a²b
−6x × 4y × (−2x) = (−6×4×−2)(x×y×x) = 48x²y
0,5a × (−2a) = (0,5×−2)(a×a) = −a²
La simple distributivité
✅Propriété
a × (b + c) = a×b + a×c
a × (b − c) = a×b − a×c
On distribue le facteur extérieur sur chaque terme de la parenthèse.
3 × (x + 2) = 3x + 6
a × (a − 3) = a² − 3a
2a × (2a + 2) = 4a² + 4a
(2a − 4c) × 3e = 6ae − 12ce
Signes et parenthèses
Précédée de « + »
On supprime les parenthèses sans rien changer.
2a + (a + 3b − 2)
= 2a + a + 3b − 2
= 3a + 3b − 2
Précédée de « − »
On supprime les parenthèses en changeant tous les signes.
2a − (−4a + 7b − 5)
= 2a + 4a − 7b + 5
= 6a − 7b + 5
2x − (x − y) = x + y
−5 + (−7a + 2) = −7a − 3
2a + 3 − (2 + 2a) = 1
−15 − (−2a + 3) = 2a − 18
La mise en évidence (factorisation)
📘Définition
La mise en évidence est l'opération inverse de la distributivité. On factorise une expression en mettant en évidence un facteur commun :
ab + ac = a(b + c)
Méthode : chercher le plus grand facteur commun à tous les termes, puis diviser chaque terme par ce facteur.
3x + 6 = 3(x + 2) [facteur commun : 3]
a² − 2a = a(a − 2) [facteur commun : a]
5a + 5b = 5(a + b)
2a − 2ac = 2a(1 − c)
5ab − 10ac + 20ad = 5a(b − 2c + 4d)
⚠️Attention
Pour vérifier sa factorisation, on peut toujours redistribuer: si en développant on retrouve l'expression initiale, la factorisation est correcte.
Valeur numérique
📘Définition
La valeur numériqued'une expression littérale est le nombre obtenu en remplaçant chaque lettre par une valeur donnée.
Pour a = 3 et b = −2 :
Expression : 2a² − 3b + 1
= 2 × (3)² − 3 × (−2) + 1
= 2 × 9 + 6 + 1
= 25
À retenir
✅Propriété
- • Expression littérale = lettres (variables) + coefficients
- • Conventions : coefficient 1 omis (a=1a) ; signe × omis (3a=3×a)
- • Termes semblables = même partie littérale → seuls ceux-ci peuvent être additionnés/soustraits
- • Multiplication : coefficients × coefficients, parties littérales × parties littérales
- • Distributivité : a(b+c) = ab+ac et a(b−c) = ab−ac
- • Parenthèse précédée de + : rien ne change · précédée de − : tous les signes changent
- • Mise en évidence (factorisation) : ab+ac = a(b+c) — inverse de la distributivité