Mathématiques › 2ème Secondaire › Géométrie › Figures du plan et solides de l'espace

Figures du plan et solides de l'espace

1. Le cercle

Définition — Un cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble de tous les points situés à une distance exactement égale à r de O. Le disque est la surface délimitée par le cercle (intérieur compris).

Vocabulaire

Rayon : segment reliant le centre à un point du cercle (longueur r).
Diamètre : corde passant par le centre ; sa longueur est d = 2r.
Corde : segment reliant deux points du cercle.
Arc : portion de cercle entre deux points.
Tangente : droite qui touche le cercle en un seul point, perpendiculaire au rayon en ce point.

Propriété — La circonférence (périmètre) d'un cercle est C = 2πr. L'aire du disque est A = πr².

2. Positions relatives de deux cercles

Deux cercles C₁ et C₂ de centres A et B, de rayons r₁ et r₂ (avec r₁ > r₂), peuvent se trouver dans 6 positions différentes selon la distance AB entre leurs centres.

1/6

Disjoints extérieurs

Les deux cercles ne se touchent pas et sont complètement séparés.

Condition : AB > r₁ + r₂

Position	Condition sur AB	Points communs
Disjoints extérieurs	AB > r₁ + r₂	0
Tangents extérieurs	AB = r₁ + r₂	1 (extérieur)
Sécants	\|r₁ − r₂\| < AB < r₁ + r₂	2
Tangents intérieurs	AB = \|r₁ − r₂\|	1 (intérieur)
Disjoints intérieurs	AB < \|r₁ − r₂\|	0
Concentriques	AB = 0	0

3. La médiatrice d'un segment

Définition — La médiatrice d'un segment AB est l'ensemble des points du plan équidistants des extrémités A et B. Elle est perpendiculaire à AB et passe par son milieu M.

Propriété — Un point P appartient à la médiatrice de AB si et seulement si PA = PB.

Déplace le point P sur la médiatrice pour observer que la distance à A et la distance à B restent toujours égales :

📏

PA = PB = 24.5 u— Déplace P le long de la médiatrice

4. Positions d'une droite et d'un cercle

Une droite (a) et un cercle de centre O et de rayon r peuvent se trouver dans 3 positions selon la distance d du centre O à la droite (a).

Droite sécante

La droite (a) coupe le cercle en deux points distincts A et B.

Condition : d < r (d = distance de O à la droite (a), r = rayon)

Propriété — La tangente en un point T est perpendiculaire au rayon OT en ce point.

5. La bissectrice d'un angle

Définition — La bissectrice d'un angle BÂC est l'ensemble des points du plan équidistants des côtés [AB) et [AC) de l'angle (ou de leurs prolongements). Elle partage l'angle en deux angles égaux.

Propriété — Un point P appartient à la bissectrice de BÂC si et seulement si d(P, [AB)) = d(P, [AC)) (égalité des distances perpendiculaires aux côtés).

Déplace le point P sur la bissectrice pour observer que les distances aux deux côtés restent égales :

📏

d(P, [AB]) = d(P, [AC]) = 9.6 u— Déplace P le long de la bissectrice

6. Cercle circonscrit à un triangle

Définition — Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe exactement par les trois sommets du triangle. Son centre est le point d'intersection des trois médiatrices des côtés.

Suis les étapes pour construire le cercle circonscrit à un triangle :

Le triangle

On part d'un triangle quelconque ABC.

Propriété — Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un même point O, équidistant des trois sommets :OA = OB = OC = r (rayon du cercle circonscrit).

7. Cercle inscrit dans un triangle

Définition — Le cercle inscrit dans un triangle est le cercle tangent aux trois côtés du triangle (il touche chaque côté en un point). Son centre est le point d'intersection des trois bissectrices des angles.

Suis les étapes pour construire le cercle inscrit dans un triangle :

Le triangle

On part d'un triangle ABC.

Propriété — Les trois bissectrices d'un triangle se coupent en un même point I, équidistant des trois côtés. Cette distance commune est le rayon r du cercle inscrit.

8. Les angles

Notation

Un angle peut être noté de deux façons :

Avec un seul sommet : on place un chapeau sur la lettre du sommet. Par exemple, l'angle en A s'écrit Â.
Avec trois lettres : on note BÂC (le chapeau est sur la lettre du sommet A, qui est toujours la lettre du milieu). Les lettres B et C indiquent les deux côtés de l'angle.

À retenir — Dans BÂC, la lettre du milieu (avec le chapeau) est toujours le sommet de l'angle. BÂC = CÂB (l'ordre des extrémités ne change pas l'angle).

Types d'angles

Définition — Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun et aucun point intérieur en commun.

Propriété — Les angles adjacents se partagent un côté (demi-droite commune) sans se chevaucher.

Type	Condition	Propriété clé
Adjacents	Même sommet + côté commun + non chevauchants	Partage un côté
Complémentaires	α + β = 90°	Chacun est le complément de l'autre
Supplémentaires	α + β = 180°	Forment un angle plat
Opposés par le sommet	Formés par deux droites sécantes	Égaux deux à deux
Alternes internes	Coupure de // par sécante, intérieurs	Égaux si droites parallèles
Alternes externes	Coupure de // par sécante, extérieurs	Égaux si droites parallèles
Correspondants	Même position à chaque intersection	Égaux si droites parallèles

9. Les triangles

Classification par les côtés

Scalène

Trois côtés de longueurs différentes.

Isocèle

Au moins deux côtés égaux.

Équilatéral

Trois côtés égaux (et trois angles de 60°).

Classification par les angles

Acutangle

Les trois angles sont aigus (< 90°).

Rectangle

Un angle droit (= 90°).

Obtusangle

Un angle obtus (> 90°).

Propriété — La somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180° : Â + B̂ + Ĉ = 180°.

Inégalité triangulaire

Propriété — Pour que trois longueurs a, b, c forment un triangle, chaque côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres : a < b + c, b < a + c, c < a + b.

Exemple

Peut-on former un triangle avec 3 cm, 5 cm et 9 cm ?

3 + 5 = 8 < 9 → Non, car 9 > 3 + 5.

Avec 4 cm, 6 cm et 8 cm ?

4 + 6 = 10 > 8 ✓ ; 4 + 8 = 12 > 6 ✓ ; 6 + 8 = 14 > 4 ✓ → Oui.

10. Polygones

Définition — Un polygone est une figure plane délimitée par des segments (les côtés). Un polygone à n côtés s'appelle un n-gone.

Propriété — La somme des angles intérieurs d'un polygone à n côtés est : S = (n − 2) · 180°.

Polygone	n	Somme des angles	Angle si régulier
Triangle	3	180°	60°
Quadrilatère	4	360°	90°
Pentagone	5	540°	108°
Hexagone	6	720°	120°
Octogone	8	1 080°	135°

Exemple

Trouve l'angle manquant dans un quadrilatère dont les angles sont 90°, 110° et 85°.

Somme = 360°, donc x = 360° − 90° − 110° − 85° = 75°.

11. Solides de l'espace

Un solide est une figure à trois dimensions. Il est délimité par des faces, des arêtes et des sommets.

Polyèdres

Prisme droit

Deux bases polygonales identiques et parallèles, reliées par des rectangles.

Ex : Cube, pavé, prisme triangulaire.

Pyramide

Une base polygonale et des faces triangulaires qui se rejoignent en un sommet (apex).

Ex : Pyramide à base carrée, tétraèdre.

Solides de révolution

Cylindre

Deux bases circulaires + une surface latérale courbe.

Cône

Une base circulaire + une surface latérale qui se rétrécit en un sommet.

Sphère

Ensemble des points à distance r d'un centre (en 3D).

À retenir — Relation d'Euler pour les polyèdres convexes : Sommets − Arêtes + Faces = 2. Pour un cube : 8 − 12 + 6 = 2 ✓

Solide	Volume	Aire latérale
Pavé (L·l·h)	L · l · h	2(Lh + lh)
Prisme (base B, haut. h)	B · h	Périmètre base · h
Pyramide (base B, haut. h)	⅓ · B · h	Somme des faces lat.
Cylindre (r, h)	πr²h	2πrh
Cône (r, haut. h)	⅓ · πr²h	πrl (l = génératrice)
Sphère (r)	⁴⁄₃ πr³	4πr²