Le calcul littéral
1. L'expression littérale
📘 Définition
Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres (variables). Ces lettres peuvent représenter n'importe quel nombre.
Chaque terme d'une expression littérale se décompose en deux parties :
Coefficient numérique
La partie chiffre qui multiplie la variable
Partie littérale
La partie lettre(s) du terme
Décomposition d'un terme
⚠️ Attention
Quand il n'y a pas de chiffre devant une lettre, le coefficient est 1 (ou −1 si le signe est négatif). Ainsi, x = 1·x et −x = −1·x.
2. Addition et soustraction
📘 📘 Termes semblables
Deux termes sont semblables s'ils ont exactement la même partie littérale. On peut additionner ou soustraire uniquement des termes semblables, en additionnant ou soustrayant leurs coefficients.
Exemple
3x + 5x = 8x — même partie littérale (x), on additionne les coefficients : 3 + 5 = 8
4a2 − a2 = 3a2 — coefficients : 4 − 1 = 3
7x − 3x + 2x = 6x — on additionne/soustrait dans l'ordre
⚠️ Attention
2x + 3y ne peut pas être simplifié ! Les parties littérales sont différentes (x ≠ y), ce ne sont pas des termes semblables.
Exemple complet — réduire l'expression
5x2 + 3x − 2x2 + x − 4
On regroupe les termes semblables :
(5x2 − 2x2) + (3x + x) − 4
= 3x2 + 4x − 4
3. Multiplication
✅ Règle
Pour multiplier deux termes littéraux :
- On multiplie les coefficients entre eux.
- On additionne les exposants des variables identiques.
Exemple
3x · 4x = 12x2 — coefficients : 3·4 = 12 ; exposants de x : 1+1 = 2
2a · 5b = 10ab — les variables sont différentes, on les écrit côte à côte
(−3x2) · 2x = −6x3 — coefficients : −3·2 = −6 ; exposants : 2+1 = 3
4x · (−x) = −4x2 — attention au signe !
4. La distributivité simple
Distribuer, c'est supprimer les parenthèses en multipliant chaque terme à l'intérieur par le facteur à l'extérieur.
Distributivité simple
a multiplie chaque terme à l'intérieur de la parenthèse
Exemple
3(2x + 4) = 3·2x + 3·4 = 6x + 12
−2(3x − 5) = −2·3x + (−2)·(−5) = −6x + 10
5x(2x − 3) = 5x·2x + 5x·(−3) = 10x2 − 15x
⚠️ Attention
Avec un signe négatif devant la parenthèse, tous les signes à l'intérieur changent :
−2(3x − 5) = −6x + 10
Le − et le − donnent un + : (−2)·(−5) = +10
5. Effet d'un + ou − devant une parenthèse
Cas particulier de la distributivité simple avec k = 1 ou k = −1 :
Un + devant la parenthèse
+(a + b) = a + b
Les signes ne changent pas.
+(3x − 2) = 3x − 2
+(−4 + y) = −4 + y
Un − devant la parenthèse
−(a + b) = −a − b
Tous les signes s'inversent.
−(3x − 2) = −3x + 2
−(−4 + y) = 4 − y
Exemple — développer et réduire
2(3x + 1) − (4x − 5)
= 6x + 2 − 4x + 5 ← attention : −(4x−5) = −4x+5
= 2x + 7
6. La double distributivité
Pour multiplier deux expressions entre parenthèses, chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second.
Double distributivité
4 multiplications : chaque terme de la 1ère parenthèse · chaque terme de la 2ème
Exemple
(3x − 2)(2x + 1)
= 3x·2x + 3x·1 + (−2)·2x + (−2)·1
= 6x2 + 3x − 4x − 2
= 6x2 − x − 2
7. Les produits remarquables ⭐
Les produits remarquables sont trois formules qui apparaissent très souvent en mathématiques. Il est indispensable de les connaître par cœur car elles permettent de développer (et factoriser) très rapidement des expressions.
7a. Le carré d'une somme
Carré d'une somme
le premier terme au carré + 2 fois le produit des deux termes + le deuxième terme au carré
Preuve par double distributivité :
(a + b)2
= (a + b)(a + b)
= a² + ab + ba + b²
= a² + 2ab + b²
Exemple
(x + 3)2 = x2 + 2·x·3 + 32 = x2 + 6x + 9
(2x + 5)2 = (2x)2 + 2·2x·5 + 52 = 4x2 + 20x + 25
(a + 1)2 = a2 + 2a + 1
⚠️ ⚠️ Erreur classique
(a + b)2 ≠ a2 + b2
Il ne faut jamais oublier le terme 2ab au milieu !
(x + 3)2 ≠ x2 + 9 (FAUX)
(x + 3)2 = x2 + 6x + 9 (CORRECT)
💡 Astuce
Vérification numérique : prenons a = 2 et b = 3.
(2 + 3)2 = 52 = 25
22 + 2·2·3 + 32 = 4 + 12 + 9 = 25 ✓
7b. Le carré d'une différence
Carré d'une différence
le premier terme au carré − 2 fois le produit des deux termes + le deuxième terme au carré
Preuve :
(a − b)2
= (a − b)(a − b)
= a² − ab − ba + b²
= a² − 2ab + b²
Exemple
(x − 4)2 = x2 − 2·x·4 + 42 = x2 − 8x + 16
(3x − 2)2 = (3x)2 − 2·3x·2 + 22 = 9x2 − 12x + 4
(1 − a)2 = 1 − 2a + a2
💡 Astuce
Remarque : le dernier terme est toujours positif, même dans le carré d'une différence, car b² ≥ 0 toujours.
(x − 5)2 = x2 − 10x + 25 (pas −25 !)
7c. Le produit de binômes conjugués
Produit de binômes conjugués (différence de carrés)
le résultat est simplement la différence des carrés — le terme en ab disparaît !
Preuve :
(a + b)(a − b)
= a² − ab + ba − b²
= a² − ab + ab − b² ← les termes en ab s'annulent
= a² − b²
Exemple
(x + 5)(x − 5) = x2 − 52 = x2 − 25
(2x + 3)(2x − 3) = (2x)2 − 32 = 4x2 − 9
(a + b)(a − b) avec a = 10, b = 1 : (11)(9) = 99 = 10² − 1² = 100 − 1 = 99 ✓
💡 💡 Application concrète
Cette formule permet de calculer rapidement des produits :
41 · 39 = (40 + 1)(40 − 1) = 40² − 1² = 1600 − 1 = 1599
99 · 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 100² − 1² = 9999
📋 Récapitulatif des produits remarquables
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2